Глава 5

***********

Пространственное многоуровневое Распределение При оценке силы персонажей естественно в первую очередь руководствоваться физикой.

Однако, поскольку бесконечная сила и энергия — это высшая степень силы, которую персонаж может достичь с точки зрения физики,

не будет уровня силы выше того, который необходим для разрушения бесконечной вселенной, то есть Высшего 3-А.Следовательно,

чтобы отличить силу изображенных персонажей от силы такого рода, мы используем концепцию, отличную от физической силы: концепцию размера.Простая идея заключается в том, что персонажи, которые могут разрушить гораздо более крупные структуры, чем другие, вероятно,

также будут более могущественными, чем они.Размеры тесно связаны с понятием размера, поскольку объекты более высоких измерений можно рассматривать как бесконечно большие, чем объекты более низких измерений.

Следовательно, мы используем их в качестве уровней власти в нашей многоуровневой системе.Обратите внимание: хотя мы используем размеры в качестве основного мерила, мы не игнорируем высшую силу другой природы. Если сила имеет необходимое качественное превосходство над определенным уровнем,

это может оправдать соответствующий более высокий рейтинг в многоуровневой системе. Более подробную информацию см. в разделе «Составные иерархии»

.Интуитивное Объяснение Один из простых способов представить разницу между измерениями — это представить ее как разницу между человеком и (живым) рисунком человека на бесконечно плоском листе бумаги.

Хотя мы можем двигаться в трех направлениях (вверх/вниз, влево/вправо, вперед/назад), рисунок может перемещаться только по поверхности бумаги, на которой он нарисован (только вверх/вниз и влево/вправо). Бесконечно плоский лист бумаги можно сложить так, чтобы он практически не занимал никакого объема,

и, следовательно, его уничтожение будет означать разрушение объема меньшего, чем у любого трехмерного объекта.Разницу в размерах легко увидеть,

если посмотреть на простые конструкции в разных измерениях:В 1-D все похоже на линию. Линия имеет только длину, но не ширину.В 2D есть плоскости, например квадраты. Квадрат имеет длину и ширину. Если мы говорим о размере в двух измерениях, мы имеем в виду площадь.

Однако площадь линии равна 0, потому что ее площадь будет равна ширине x длине, но ее ширина равна 0, и поэтому площадь также не зависит от ее длины.Трехмерное пространство — это пространство, в котором мы обычно живем. Размер в трехмерном пространстве означает объем.

Разница между трехмерным и двухмерным объектом аналогична разнице между двухмерным и одномерным объектом: квадрат имеет высоту 0, а его объем будет определяться как ширина x длина x высота.

Поскольку его высота равна 0, его объем равен 0, а это означает, что он незначительно мал по сравнению с размером трехмерных объектов.Подобным образом мы можем продолжить и для всех других измерений, даже если мы больше не можем их вообразить.В 4-х измерениях мы, например,

добавили бы дополнительное направление расширения помимо длины, ширины и высоты. В этом четвертом направлении протяженность куба будет равна 0, поэтому его четырехмерный размер, который будет равен высоте х длине х ширине х четвертому направлению,

всегда будет равен 0.Здесь вы можете найти иллюстрированное объяснение, в котором 4-е измерение рассматривается как время, как это часто и делается.Губка Менгера также является хорошим примером, иллюстрирующим этот случай.Математическое Объяснение Чтобы понять разницу в размерах между разными измерениями,

нам сначала нужно понять, как размер измеряется в математике. Для этого нам нужно определить различные математические структуры. Предпосылкой для понимания следующего является знание того, что означают термины функция ,

набор , подмножество , набор степеней , объединение , пересечение и дополнение в математическом контексте.Обратите внимание, что следующие объяснения являются неформальными и упрощенными.

σ- Алгебра Если мы хотим иметь дело с размером математически, нам нужно присвоить подмножеству некоторого множества S (которое является нашим пространством) число,

определяющее его размер. Это означает, что мы хотим определить функцию, которая проецируется из набора степеней S в неотрицательное действительное число или бесконечное.

Однако можно показать, что для количественных определений размера, которые соответствуют нашему интуитивному пониманию размера, такой функции не существует, если кто-то действительно хочет определить функцию на всем наборе степеней.

Следовательно, вместо этого функция определяется только на определенном подмножестве степенного множества, элементы которого называются измеримыми множествами. Но вместо того, чтобы выбирать случайное подмножество набора степеней,

мы хотим, чтобы это подмножество было достаточно богатым наборами, чтобы с ним можно было правильно работать. Это мотивирует определение σ-алгебры:Пусть S — множество, а A — некоторое подмножество степенного множества S. U называется σ-алгеброй, если:1. S находится в A.2. Если некоторый U находится в A,

то и S\U находится в A.3. Если для любых, вплоть до счетного числа , множеств из А, то и объединение множеств происходит в А.МераМера — это вышеупомянутая функция, которая проецирует подмножества S или, точнее,

множества в выбранной σ- алгебре A в неотрицательное действительное число, которое представляет их размер (или в бесконечность).Мера должна обладать следующими свойствами:1. Размер пустого множества равен 0.

Или, интуитивно говоря, размер ничего равен 0.2. Размер объединения до счетно бесконечных непересекающихся множеств в A равен сумме их индивидуальных размеров. Интуитивно это ничего не означает, но если объединить несколько отдельных объектов, размер полученного объекта будет равен сумме размеров объектов, из которых он был создан.

Как можно догадаться по тому, насколько общими являются эти свойства, существует множество различных мер во многих различных σ- алгебрах, и большинство из них не классифицируют то, что мы представляем себе под объемом, даже если они дают что-то похожее на размер.

Следовательно, нам нужно дополнительно указать, какую меру мы хотим использовать, если говорим о размере.Меры Хаусдорфа Чтобы иметь меру, количественно выражающую наше понимание размера, нам нужны еще две вещи, а не только базовые свойства меры. Это вещи:n-мерный размер n- мерного куба со стороной 1 равен 1.

Перемещение или вращение чего-либо не меняет его размера.Некоторые меры, которые удовлетворяют этим свойствам, являются n- мерными мерами Хаусдорфа, если они определены на подходящей борелевской алгебре.

Борелевская алгебра — это σ- алгебра, которую можно получить, начиная со всех открытых подмножеств в n- мерном реальном координатном пространстве (или со всех замкнутых множеств ,

компактов или полуоткрытых кубов) и добавляя все множества, необходимые для того, чтобы сделать ее σ -Алгебра. Эта алгебра достаточно обширна, чтобы количественно определить размер практически любого объекта реальной жизни.Меры Хаусдорфа обладают еще одним свойством,

которое делает их размер интуитивно понятным.M-мерное подмногообразие — это гладкий объект меньшей размерности, находящийся в пространстве более высокой размерности. Если применить к под многообразию m- мерную меру Хаусдорфа, это даст правильное представление о размере. Это означает, что, например,

поверхность сферы в трехмерном пространстве получит площадь как размер, если ее измерить с помощью меры Хаусдорфа.Размерность Хаусдорфа Как классифицировать размерность подмножеств пространства более высокой размерности — нелегкий вопрос.

Однако одно элегантное решение связано с тем, что, как предполагалось ранее, можно применить меру Хаусдорфа меньшей размерности к подмножеству пространства более высокой размерности (например, к под многообразию).

Используя это, размерность Хаусдорфа определяется следующим образом:«Хаусдорфова размерность некоторого подмножества n- мерного действительного координатного пространства (где n — некоторое произвольное натуральное число) — это наименьшее число d, так что для всех d', больших d, d'- мерный размер множество (с использованием меры Хаусдорфа) равно 0».

Или эквивалентно:«Хаусдорфова размерность некоторого подмножества n- мерного вещественного координатного пространства (где n — некоторое произвольное натуральное число) — это наибольшее число d, так что для всех d', меньших d, d'- мерный размер множество (с использованием меры Хаусдорфа) бесконечно».

Проще говоря, размер объекта выбирается таким образом, чтобы с точки зрения любого более низкого измерения он казался бесконечным, а с точки зрения любого более высокого измерения казалось, что он имеет нулевой размер.Этот термин измерения действительно соответствует ожидаемому размеру объектов, например, размерность Хаусдорфа поверхности сферы равна 2,

а размерность Хаусдорфа куба равна 3.Если вы хотите понять, насколько велика может быть разница между измерениями, следует учитывать следующее:Меры обладают тем свойством, что если сложить вместе до счетного числа отдельные объекты, размер полученного объекта будет равен сумме размеров объектов,

из которых он был создан.Это означает, что размер счетных бесконечных объектов размера 0 вместе имеет размер 0.Согласно первому варианту определения хаусдорфовой размерности легко видеть, что размерность объединения счетно бесконечных n- мерных объектов также является n- мерным объектом.

Другими словами, объединение вместе счетных бесконечных объектов никогда не достигнет более высокого измерения.

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ

(СБЕР 2202206259157977 ПОДДЕРЖАТЬ АВТОРА)